Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Производная функции f(x) в точке x₀ определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента: f'(x₀) = lim[Δx→0] (f(x₀+Δx) - f(x₀))/Δx. Геометрически производная равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в данной точке. Физически производная характеризует скорость изменения функции. Если функция имеет производную в точке, она называется дифференцируемой в этой точке. Дифференцируемость влечет непрерывность, но не наоборот.

Основные правила дифференцирования: производная суммы равна сумме производных (f+g)' = f' + g'; производная произведения (fg)' = f'g + fg'; производная частного (f/g)' = (f'g - fg')/g². Производная сложной функции вычисляется по правилу цепочки: если y = f(u) и u = g(x), то dy/dx = (dy/du)·(du/dx). Таблица производных элементарных функций: (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹, (eˣ)' = eˣ, (ln x)' = 1/x, (sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x.

Дифференциал функции dy = f'(x)dx представляет главную линейную часть приращения функции. Производные высших порядков определяются последовательным дифференцированием: f''(x) = (f'(x))', f'''(x) = (f''(x))' и т.д. Теорема Ролля: если функция непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f(a) = f(b), то существует точка c ∈ (a,b), где f'(c) = 0. Теорема Лагранжа о среднем значении: f(b) - f(a) = f'(c)(b-a) для некоторой точки c ∈ (a,b).

Исследование функций с помощью производных. Необходимое условие экстремума: если x₀ — точка локального экстремума и f'(x₀) существует, то f'(x₀) = 0 (стационарная точка). Достаточное условие экстремума через первую производную: если f'(x) меняет знак с плюса на минус при переходе через x₀, то x₀ — точка максимума; с минуса на плюс — точка минимума. Достаточное условие через вторую производную: если f'(x₀) = 0 и f''(x₀) > 0, то x₀ — точка минимума; если f''(x₀) < 0 — точка максимума. Функция выпукла вниз на интервале, если f''(x) > 0, выпукла вверх, если f''(x) < 0. Точки перегиба соответствуют смене знака второй производной. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида 0/0 или ∞/∞: lim[x→a] f(x)/g(x) = lim[x→a] f'(x)/g'(x).