Основы теории вероятностей

Случайное событие — событие, которое может произойти или не произойти в результате испытания. Достоверное событие происходит всегда, невозможное — никогда. События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно. Полная группа событий — совокупность всех возможных исходов испытания. Классическое определение вероятности: P(A) = m/n, где m — число благоприятных исходов, n — общее число равновозможных исходов. Статистическое определение: вероятность как предел относительной частоты при большом числе испытаний.

Теорема сложения вероятностей: для несовместных событий P(A+B) = P(A) + P(B). Для совместных событий P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Условная вероятность P(A|B) — вероятность события A при условии, что событие B произошло: P(A|B) = P(AB)/P(B). События независимы, если P(AB) = P(A)·P(B). Теорема умножения: для зависимых событий P(AB) = P(A)·P(B|A), для независимых P(AB) = P(A)·P(B). Формула полной вероятности: если события H₁, H₂, ..., Hₙ образуют полную группу, то P(A) = Σ P(Hᵢ)·P(A|Hᵢ).

Формула Байеса позволяет пересчитать вероятности гипотез после получения информации: P(Hᵢ|A) = P(Hᵢ)·P(A|Hᵢ) / P(A). Случайная величина — величина, принимающая различные значения в зависимости от исхода испытания. Дискретная случайная величина принимает конечное или счетное множество значений. Закон распределения задается рядом распределения или функцией распределения F(x) = P(X < x). Математическое ожидание M(X) = Σ xᵢpᵢ характеризует среднее значение. Дисперсия D(X) = M[(X-M(X))²] характеризует разброс значений. Среднее квадратическое отклонение σ = √D(X). Биномиальное распределение описывает число успехов в n независимых испытаниях Бернулли. Нормальное распределение — важнейшее непрерывное распределение с плотностью вероятности в виде колоколообразной кривой Гаусса.